৮ম শ্রেণির গণিত ৪.২ এর সমাধান (PDF) Download

৮ম শ্রেণির গণিত ৪.২ এর সমাধান : দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধানে বীজগণিতের প্রয়োগ ও ব্যবহার ব্যাপকভাবে হয়ে থাকে। বীজগণিতীয় প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগণিতীয় সূত্র বা সংক্ষেপে সূত্র বলা হয়। নানাবিধ গাণিতিক সমস্যা বীজগণিতীয় সূত্রের সাহায্যে সমাধান করা যায়। সপ্তম শ্রেণিতে প্রথম চারটি সূত্র ও এদের সাথে সম্পৃক্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

এ অধ্যায়ে সেগুলো পুনরুল্লেখ করা হলো এবং এদের প্রয়োগ দেখানোর জন্য কিছু উদাহরণ দেওয়া হলো যেন শিক্ষার্থীরা প্রয়োগ সম্পর্কে যথেষ্ট জ্ঞান অর্জন করতে পারে। এ অধ্যায়ে বীজগণিতীয় সূত্র প্রয়োগ করে দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির বর্গ ও ঘন নির্ণয়, মধ্যপদ বিশ্লেষণ, উৎপাদক এবং এদের সাহায্যে কীভাবে বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় করা যায় তা বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে।

৮ম শ্রেণির গণিত ৪.২ এর সমাধান

বীজগণিতীয় সূত্র (Algebraic Formulae) : বীজগণিতীয় প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগণিতীয় সূত্র বা সংক্ষেপে সূত্র বলা হয়।

চলক (Variable) : বীজগণিতে ব্যবহৃত অজ্ঞাত রাশি বা অক্ষর প্রতীককে চলক বলে। সাধারণত ইংরেজিx, y, z, ……….. ইত্যাদি অক্ষর প্রতীক চলক হিসাবে ব্যবহৃত হয়।

চলকের বৈশিষ্ট্যসমূহ :

• চলক এমন একটি প্রতীক যার মানের পরিবর্তন হয়।
• চলকের মান নির্দিষ্ট নয়।
• চলক বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।

বীজগণিতীয় রাশি (Algebraic Expression) : প্রক্রিয়া চিহ্ন ও সংখ্যাসূচক প্রতীক এর অর্থবোধক সংযোগ বা বিন্যাসকে বীজগণিতীয় রাশি বলা হয়। যেমন : 5x, 2x + 3y ইত্যাদি।

বীজগণিতীয় পদ (Algebraic Term) : বীজগণিতীয় রাশির যে অংশ যোগ (+) ও বিয়োগ (-) চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত থাকে এদের প্রত্যেকটিকে ঐ রাশির পদ বলা হয়। যেমন : 2x + 3y বীজগণিতীয় রাশিটিতে, 2x একটি পদ এবং 3y অপর একটি পদ। তাই এটি একটি দ্বিপদী রাশি।

সহগ (Coefficient) : কোনো একপদী রাশিতে চলকের সাথে যখন কোনো সংখ্যা গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির সাংখ্যিক সহগ বা সহগ বলে। যেমন : 3x রাশিটিতে x এর সহগ 3

ধ্রুবক (Constant) : বীজগণিতীয় রাশির চলক বর্জিত পদকে ধ্রুবক বা ধ্রুব পদ বলে। যেমন : 2x + 3y + 5 রাশিটিতে ধ্রুবক হচ্ছে 5। কারণ, এতে কোনো চলক নেই।

সূত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর ঘন নির্ণয় কর

(ক) 3x + y
সমাধান: (3x + y)³
                  = (3x)³ + 3. (3x)².y + 3. 3x. y² + y³
= 27x³ + 3.9x².y + 9xy² + y³
         = 27x³ + 27x²y + 9xy² + y³ (Ans.)

(খ) x² + y
সমাধান:  (x² + y)³
                  = (x²)³ + 3.(x²)².y + 3.x².y² + y³
= x⁶ + 3x⁴y + 3x²y² + y³ (Ans.)

(গ) 5p + 2q
সমাধান: (5p + 2q)³
= (5p)³ + 3 ´ (5p)² ´ 2q + 3 ´ 5p ´ (2q)² + (2q)³
= 125p³ + 3 ´ 25p² ´ 2q + 15p ´ 4q² + 8q³
= 125p³ + 150p²q + 60pq² + 8q³ (Ans.)

(ঘ) a2b + c2d
সমাধান: (a2b + c2d)3
= (a2b)3 + 3 ´ (a2b)2 ´ (c2d) + 3 ´ (a2b) ´ (c2d)2 + (c2d)3
= a6b3 + 3a4b2c2d + 3a2bc4d2 + c6d3 (Ans.)

(ঙ) 6p – 7
সমাধান: (6p – 7)³
= (6p)³ – 3 ´ (6p)² ´ 7 + 3 ´ 6p ´ (7)² – (7)³
= 216p³ – 3 ´ 36p² ´ 7 + 3 ´ 6p ´ 49 – 343
= 216p³ – 756p² + 882p – 343 (Ans.)

(চ) ax – by
সমাধান : (ax – by)³
= (ax)³ – 3 ´ (ax)² ´ by + 3 ´ ax ´ (by)² – (by)³
= a³x³ – 3 ´ a²x² ´ by + 3 ´ ax ´ b²y² – b³y³
= a³x³ – 3a²x²by + 3axb²y² – b³y³ (Ans.)

(ছ) 2p² – 3r²
সমাধান: (2p² – 3r²)³
= (2p²)³ – 3 ´ (2p²)² ´ 3r² + 3 ´ 2p² ´ (3r²)² – (3r²)³
= 8p⁶ – 3 ´ 4p⁴ ´ 3r² + 3 ´ 2p² ´ 9r⁴ – 27r⁶
= 8p⁶ – 36p⁴r² + 54p²r⁴ – 27r⁶ (Ans.)

(জ) x3 + 2
সমাধান: (x3 + 2)3
= (x3)³ + 3 ´ (x3)²  ´ 2 + 3 ´ x3 ´ (2)²  + (2)³
= x9 +  6 ´ x6 + 3 ´ x³ ´ 4 + 8
= x9 + 6×6 + 12×3 + 8 (Ans.)

(ঝ) 2m + 3n – 5p
সমাধান : (2m + 3n – 5p)³
= (2m + 3n)³ – 3 ´ (2m + 3n)² ´ (5p) + 3 ´ (2m + 3n)
´ (5p)² – (5p)³
= {(2m)³ + 3 ´ (2m)² ´ 3n + 3 ´ 2m ´ (3n)² + (3n)³} – 3{(2m)² + 2 ´ 2m ´ 3n + (3n)²} ´ 5p + 3 ´ (2m
+ 3n) ´ 25p² – 125p³
= (8m³ + 3 ´ 4m² ´ 3n + 3 ´ 2m ´ 9n² + 27n³) – 3(4m²
+ 12mn + 9n²) ´ 5p + 150mp²  + 225p²n – 125p³
= 8m³ + 36m²n + 54mn² + 27n³ – 60m²p – 180mnp
– 135n²p + 150mp² + 225p²n – 125p³
= 8m³ + 27n³ – 125p³ + 36m²n – 60m²p  + 54mn²
+ 150mp² – 135n²p + 225p²n – 180mnp (Ans.)

(ঞ) x2 – y2 + z2
সমাধান : (x2 – y2 + z2)³
= {(x2 – y2) + z2}3
= (x2 –  y²)³ + 3. (x2 – y2)2 . z2 + 3 (x2 – y2) . (z2)2 + (z2)3
= (x2)3 – 3 . (x2)2 . y2  +  3 . x2. (y2)2 – (y2)3 +  3z2
{(x2)2 – 2 . x² . y² +  (y2)2} +  3. (x2 – y2) . z4 + z6
=  x6 – 3.×4.y2 + 3.×2.y4 – y6  3z2
(x4 – 2x2y2 + y4) + 3(x2 – y2). z4 + z6
=  x6 – 3 x4y2 + 3x2y4 – y6 + 3x4z2
– 6x2y2z2  + 3y4z2 + 3x2z4 – 3y2z4 + z6
=  x6 – y6 + z6 – 3x4y2 + 3x2y4 + 3x4z2 + 3y4z2 + 3x2z4
– 3y2z4 – 6x2y2z2 (Ans.)

(ট) a2b2 – c2d2
সমাধান : (a2b2 – c2d2)3
= (a2b2)³ – 3 ´ (a2b2)2 ´ (c2d2) + 3 ´ (a2b2) ´ (c2d2)2 – (c2d2)3
= a6b6 – 3 ´ a4b4 ´ c2d2 + 3 ´ a2b2 ´ c4d4 – c6d6
= a6b6 – 3a4b4c2d2 + 3a2b2c4d4 – c6d6  (Ans.)

(ঠ) a2b – b3c
সমাধান : (a2b – b3c)3
= (a2b)3 – 3 ´ (a2b)2 ´ (b3c) + 3 ´ (a2b) ´ (b3c)2 – (b3c)3
= a6b3 – 3 ´ a4b2 ´ b3c + 3 ´ a2b ´ b6c2 – b9c3
= a6b3 – 3a4b5c + 3a2b7c2 – b9c3 (Ans.)

(ড) x3 – 2y3
সমাধান : (x3 – 2y3)³
= (x³)³ – 3 ´ (x³)² ´ (2y³) + 3 ´ (x³) ´ (2y³)² – (2y³)³
= x⁹ – 3 ´ x⁶ ´ 2y³ + 3 ´ x³ ´ 4y⁶ – 8y⁹
= x⁹– 6x⁶y³ + 12x³y⁶ – 8y⁹ (Ans.)

(ঢ) 11a –12b
সমাধান : (11a – 12b)3
= (11a)3 – 3 ´ (11a)2 ´ (12b) + 3´ (11a) ´ (12b)2 – (12b)3
= 1331a3 – 3 ´ 121a2´12b + 3 ´ 11a ´ 144b2 – 1728b3
= 1331a3 – 4356a²b + 4752ab2 – 1728b3 (Ans.)

(ণ) x3 + y3
সমাধান : (x3 + y3)3
= (x3)3 + 3.(x3)2.(y3) + 3. x3.(y3)2 + (y3)3
= x9 + 3x6y3 + 3x3y6 + y9 (Ans.)

প্রশ্ন ॥ ২ ॥ সরল কর

(ক)  (3x + y)³ + 3(3x + y)²(3x – y) + 3(3x + y) (3x – y)² + (3x – y)³
সমাধান : awi, 3x + y = a Ges 3x – y = b
প্রদত্ত রাশি = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= (a + b)³
= {(3x + y) + (3x – y)}³
[a ও b এর মান বসিয়ে]
= (3x + y + 3x – y)³
= (6x)³ = 216x³ (Ans.)

(খ) (2p + 5q)³ + 3(2p + 5q)²(5q – 2p) + 3(2p + 5q)(5q – 2p)² + (5q – 2p)³
সমাধান : awi, 2p + 5q = a Ges 5q – 2p = b
প্রদত্ত রাশি = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
= {(2p + 5q) + (5q – 2p)}³
[a ও b এর মান বসিয়ে]
= (2p + 5q + 5q – 2p)³
= (10q)³ = 1000q³ (Ans.)

(গ)   (x + 2y)3 – 3(x + 2y)2 (x – 2y) + 3(x + 2y) (x – 2y)2 – (x – 2y)3
সমাধান : awi, x + 2y = a Ges x – 2y = b
প্রদত্ত রাশি = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
= (a – b)3
= {(x + 2y) – (x – 2y)}³ [a ও b এর মান বসিয়ে]
= (x + 2y – x + 2y)3
= (4y)3 = 64y3 (Ans.)

(ঘ)  (6m + 2)³ – 3(6m + 2)²(6m – 4) + 3(6m + 2) (6m – 4)² – (6m – 4)³
সমাধান : awi, 6m + 2 = a Ges 6m – 4 = b
প্রদত্ত রাশি = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
= (a – b)³
= {(6m + 2) – (6m – 4)}³
[a ও b এর মান বসিয়ে]
= (6m + 2 – 6m + 4)³
= (6)³ = 216 (Ans.)

(ঙ) (x – y)3 + (x + y)3 + 6x (x2 – y2)
সমাধান : awi, x – y = a Ges  x + y = b
\ a + b    = x – y + x + y = 2x
প্রদত্ত রাশি  = (x – y)3 + (x + y)3 + 6x(x2 – y2)
= (x – y)3 + (x + y)3 + 3.2x (x + y) (x – y)
= a3 + b3 + 3ab(a + b)
= (a + b)3 = (2x)3  [(a + b) এর মান বসিয়ে]
= 8×3 (Ans.)

সূত্রের সাহায্যে গুণফল নির্ণয় কর

(ক) (a2 + b2) (a4 – a2b2 + b4)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি  = (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4)
= (a2 + b2){(a2)2 – a2b2 + (b2)2}
= (a2)3 + (b2)3 = a6 + b6 (Ans.)

(খ) (ax – by) (a2x2 + abxy + b2y2 )
সমাধান : প্রদত্ত রাশি  = (ax – by) (a2x2 + abxy + b2y2)
= (ax – by) {(ax)2 + ax. by + (by)2}
= (ax)3 – (by)3 = a3x3 – b3y3(Ans.)

(গ)   (2ab² – 1)(4a²b⁴ + 2ab² + 1)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি  = (2ab² – 1)(4a²b⁴ + 2ab² + 1)
= (2ab² – 1){(2ab²)² + 2ab² ´ 1 + 1²}
= (2ab²)³ – (1)³ = 8a³b⁶ – 1(Ans.)

(ঘ) (x2 + a)(x4 – ax2 + a2)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি  = (x2 + a)(x4 – ax2 + a2)
= (x2 + a){(x2)2 – x2 . a + (a)2}
= (x2)3 + (a)3 = x6 + a3 (Ans.)

(ঙ) (7a + 4b) (49a2 – 28ab + 16b2)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি  = (7a + 4b) (49a2 – 28ab + 16b2)
= (7a + 4b){(7a)2 – 7a ´ 4b + (4b)2}
= (7a)3 + (4b)3 = 343a3 + 64b3 (Ans.)

(চ) (2a – 1) (4a2 + 2a + 1) (8a3 + 1)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি  = (2a –1) (4a2 + 2a + 1) (8a3 + 1)
= (2a – 1){(2a)2 + 2a ´ 1 + (1)2} {(2a)3 + (1)3}
= {(2a)3 – (1)3} {(2a)3 + (1)3}
= (8a³ – 1) (8a³ + 1)
= (8a³)² – (1)² = 64a6 – 1(Ans.)

(ছ) (x + a)(x2 – ax + a2)(x – a)(x2 + ax + a2)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি  = (x + a) (x2 – ax + a2) (x – a)(x2 + ax + a2)
= (x + a) {(x)2 – x.a + (a)2} (x – a)
{(x)2 + x. a + (a)2}
= {(x)3 + (a)3} {(x)3– (a)3}
= (x3 + a3) (x3 – a3)
= (x3)2 – (a3)2 = x6 – a6 (Ans.)

(ঝ)  (5a + 3b)(25a2 – 15ab + 9b2)(125a3 – 27b3)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি  = (5a + 3b) (25a2 – 15ab + 9b2) (125a3 – 27b3)
= (5a + 3b) {(5a)2 – 5a ´ 3b + (3b)2} (125a³ – 27b³)
= {(5a)3 + (3b)3} (125a³ – 27b³)
= (125a3 + 27b3) (125a3 – 27b3)
= (125a3)2 – (27b3)2
= 15625a6 – 729b6 (Ans.)

Solution Sheet

►► আরো দেখো: ৮ম শ্রেণির গণিত সকাল অধ্যায়ের সমাধান

অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থীরা, উপরে দেয়া Solution Sheet বাটনে ক্লিক করে ৮ম শ্রেণির গণিত ৪.২ এর সমাধান ডাউনলোড করে নাও। ডাউনলোড করতে অসুবিধা হলে আমাদের ফেসবুক পেজে ইনবক্স করো। শিক্ষার্থীরা অন্যান্য বিষয়ের নোট ও সাজেশান্স পেতে আমাদের YouTube চ্যানেলটি SUBSCRIBE করতে পারো এই লিংক থেকে।